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1. El Triángulo
Propiedades de los triángulos:
1.Un lado de un triángulo es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia.
a < b + c
a > b - c
A + B + C =180º
3. El valor de un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes.
α = A + B
α = 180º - C
4. En un triángulo a mayor lado se opone mayor ángulo.5. Si un triángulo tiene dos lados iguales, sus ángulos opuestos también son iguales.
Tipos de Triángulos
Según los lados1. Equilátero (todos los lados iguales)
2. Isósceles (dos lados iguales y uno desigual)
3. Escaleno (ningún lado igual)
Según los ángulos
1. Rectángulo (un ángulo recto)
2. Acutángulo (un ángulo agudo)
3. Obtusángulo (un ángulo obtuso)
El incentro es el centro de la circunferencia inscrita al triángulo, por lo que la distancia a cada uno de sus lados es la misma.
El baricentro de un triángulo es el punto de intersección de las medianas de dicho triángulo.
El teorema de Pitágoras se basa en que la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.Rectas y puntos notables en el triángulo
El circuncentro de un triángulo es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo, por lo que la distancia a cada uno de sus vértices es la misma.
El ortocentro de un triángulo es el punto de intersección de las tres alturas del triángulo.El Teorema de Pitágoras
Demostración 3D
En esta imagen podemos contemplar que el liquido de los cuadrados con aristas que miden como los catetos, corresponde al liquido que cabe en el cuadrado con aristas que miden como la hipotenusa.
El teorema de Tales
Sabiendo la altura de un árbol y lo que mide su sombra, podemos calcular la altura de un edificio (si sabemos cuanto mide su sombra) a partir de Tales con una simple "regla de tres".
A'/A = B'/B
2. Lugares Geométricos.
¿Qué es un lugar geométrico?
Un lugar geométrico es un conjunto de puntos que satisfacen determinadas propiedades geométricas.
La bisectriz y la mediatriz
El lugar geométrico de los puntos que equidistan a otros dos puntos fijos es una recta o eje de simetría de dichos dos puntos. Si los dos puntos son los dos extremos de un segmento, dicha recta o lugar geométricos, es llamada mediatriz y es la recta que se interseca perpendicularmente en su punto medio.La bisectriz es otro un lugar geométrico. Dado un ángulo la bisectriz cumple la propiedad de que todos sus puntos equidistan a los lados de dicho ángulo.
Las cónicas
Son todas las curvas intersección entre un cono y un plano; si dicho plano no pasa por el vértice, se obtienen las cónicas propiamente dichas. Se clasifican en cuatro tipos: elipse, parábola, hipérbola y circunferencia.La CIRCUNFERENCIA se obtiene al cortar el cono con un plano de forma paralela a la base.
La ELIPSE se obtiene al cortar el cono de forma secante a los lados del cono, tal y como se ve en la imagen.
Para dibujar una elipse con el metodo del jardinero:
Primero debemos dibujar perpendicularmente los dos ejes de coordenadas en el suelo.
Luego debemos de señalar los dos focos.
Despues, con una cuerda que tenga de longitud l = 2a y colocando los extremos en los focos señalados, dibujamos la elipse.
En una mesa de billar eliptica, si colocas una bola en un foco y otro en el otro foco, siempre golpearas la bola.
La HIPÉRBOLA se obtine al cortar de forma perpendicular a la base los dos conos.
La luz que emite una lampara, produce como dos conos, que al cortarse con la pared, forma una hipérbola. (Lo podemos observar en estas imágenes).
En las antenas parabólicas, la así llamada parábola refleja las ondas electromagnéticas generadas por un dispositivo radiante que se encuentra ubicado en el foco del paraboloide. Los frentes de onda inicialmente esféricos que emite ese dispositivo se convierten en frentes de onda planos al reflejarse en la parábola, producen ondas más coherentes que otro tipo de antenas.
Despues, con una cuerda que tenga de longitud l = 2a y colocando los extremos en los focos señalados, dibujamos la elipse.
En una mesa de billar eliptica, si colocas una bola en un foco y otro en el otro foco, siempre golpearas la bola.
La HIPÉRBOLA se obtine al cortar de forma perpendicular a la base los dos conos.
La luz que emite una lampara, produce como dos conos, que al cortarse con la pared, forma una hipérbola. (Lo podemos observar en estas imágenes).
La PARÁBOLA se obtine al cortar de forma paralela al lado del cono y que pase por su base.
Un horno solar es una estructura que usa energía solar concentrada para producir altas temperaturas, usualmente para usos industriales. Hay varios tipos, uno de ellos son los reflectores parabólicos o helióstatos. Estos concentran la luz sobre un punto focal para calentar la comida
De la misma manera todos los rayos que pasen por el foco se reflejan en el espejo saliendo paralelos al eje. Podemos observar esta propiedad al observar los faros de un coche, en ellos la lámpara se coloca en el foco de manera que al salir los rayos de luz paralelos al eje la luz se concentra en la dirección de la carretera.
Este comportamiento lo presentan sólo los espejos parabólicos, aunque también puede considerarse que se comportan así los espejos esféricos cuando corresponden a una pequeña sección de esfera. De hecho, a lo largo de la historia la gran mayoría de los espejos construídos han sido esféricos, porque resultan mucho más fáciles de construir.
3. Movimientos en el plano
En geometría, una TRASLACIÓN es el movimiento de cada punto a una distancia constante en una dirección dada.En matemáticas, se define un VECTOR como un elemento de un espacio vectorial. Esta noción es más abstracta y para muchos espacios vectoriales no es posible representar sus vectores mediante el módulo y la dirección. En particular los espacios de dimensión infinita sin producto escalar no son representables de ese modo.
En este ejercicio, he calculado esto en los vectores.
En este ejercicio he trasladado estas figuras en un vector u (4,3).
En este ejercicio he trasladado estas figuras en un vector u (4,3).
En este ejercicio, he girado mi inicial 180 grados alrededor del punto "G".
En este ejercicio he realiza una serie de simetrías.
En este ejercicio podemos ver donde se proyectaría la luz dependiendo de como apuntemos.
En este ejercicio, deberás golpear en un determinado punto para que "A" choque con "B".
En este ejercicio he hecho una frase con un abecedario inventado simétrico.
Frisos, mosaicos y cenefas:
Un friso sirve en arquitectura para denominar a la parte ancha de la sección central de un entablamento.Un mosaico es una obra pictórica elaborada con pequeñas piezas de piedra, cerámica, vidrio u otros materiales similares de diversas formas y colores, llamadas teselas, unidas mediante yeso u otro aglomerante para formar composiciones decorativas geométricas o figurativas.
Una cenefa es un dibujo que sirve de adorno y que se pone a lo largo de los muros o de los pavimentos, incluso a veces en los techos. El dibujo suele ser repetitivo.
MC. Escher
MC. Escher, fue un artista holandés conocido por sus grabados xilográficos y litográficos que tratan sobre figuras imposibles, teselados y mundos imaginarios.Su obra experimenta con diversos métodos de representar (en dibujos de 2 o 3 dimensiones) espacios paradójicos que desafían a los modos habituales de representación.
4. Resumen áreas y volúmenes:
5. La esfera y el globo terráqueo:
Los elementos principales de la esfera son:- Centro: Punto interior que equidista de cualquier punto de la esfera.
- Radio: Distancia del centro a un punto de la esfera.
- Cuerda: Segmento que une dos puntos de la superficie.
- Diámetro: Cuerda que pasa por el centro.
- Polos: Son los puntos del eje de giro que quedan sobre la superficie esférica.
Los globos terráqueos suelen montarse en un soporte en ángulo, lo que los hace más fáciles de usar, representando al mismo tiempo el ángulo del planeta en relación al Sol y a su propio giro. Esto permite visualizar fácilmente cómo cambian los días y las estaciones.
Un globo terráqueo tiene a veces relieve, mostrando la topografía. Se suele usar una escala exagerada para el relieve, de forma que resulte visible.
La mayor parte de los globos terráqueos modernos incluyen también paralelos y meridianos, de modo que se pueda localizar una ubicación en la superficie del planeta.
El huso horario es cada una de las veinticuatro áreas en que se divide la Tierra, siguiendo la misma definición de tiempo cronométrico. Se llaman así porque tienen forma de huso de hilar, y están centrados en meridianos de una longitud que es un múltiplo de 15°. Anteriormente, se usaba el tiempo solar aparente, con lo que la diferencia de hora entre una ciudad y otra era de unos pocos minutos en el caso de que las ciudades comparadas no se encontraran sobre un mismo meridiano. El empleo de los husos horarios corrigió el problema parcialmente, al sincronizar los relojes de una región al mismo tiempo solar medio.
Todos los husos horarios se definen en relación con el denominado tiempo universal coordinado (UTC), huso horario centrado sobre el meridiano de Greenwich (también conocido como meridiano cero), que recibe ese nombre por pasar por el observatorio de Greenwich (Londres).
Puesto que la Tierra gira de oeste a este, al pasar de un huso horario a otro en dirección este, hay que sumar una hora. Por el contrario, al pasar de este a oeste hay que restar una hora. El meridiano de 180°, conocido como línea internacional de cambio de fecha, marca el cambio de día.
En España la hora local y la hora solar se diferencian de 2 horas, 12 minutos y 23 segundos.
Eratóstenes inventó y empleó un método trigonométrico, además de las nociones de latitud y longitud, al parecer ya introducidas por Dicearco para medir la circunferencia de la Tierra.
Por referencias obtenidas de un papiro de su biblioteca, sabía que en Siena (hoy Asuán, Egipto) el día del solsticio de verano los objetos verticales no proyectaban sombra alguna y la luz alumbraba el fondo de los pozos; esto significaba que la ciudad estaba situada justamente sobre la línea del trópico y su latitud era igual a la de la eclíptica que ya conocía. Eratóstenes, suponiendo que Siena y Alejandría tenían la misma longitud (realmente distan 3º) y que el Sol se encontraba tan alejado de la Tierra que sus rayos podían suponerse paralelos, midió la sombra en Alejandría el mismo día del solsticio de verano al mediodía, demostrando que el cenit de la ciudad distaba 1/50 parte de la circunferencia, es decir, 7º 12' del de Alejandría. Según Cleomedes, Eratóstenes se sirvió del scaphium o gnomon (un protocuadrante solar) para el cálculo de dicha cantidad.
Posteriormente, tomó la distancia estimada por las caravanas que comerciaban entre ambas ciudades, aunque bien pudo obtener el dato en la propia Biblioteca de Alejandría, fijándola en 5000 estadios, de donde dedujo que la circunferencia de la Tierra era de 250.000 estadios, resultado que posteriormente elevó hasta 252000 estadios, de modo que a cada grado correspondieran 700 estadios. También se afirma que Eratóstenes, para calcular la distancia entre las dos ciudades, se valió de un regimiento de soldados que diera pasos de tamaño uniforme y los contara.
Admitiendo que Eratóstenes usase el estadio ático-italiano de 184.8 m, que era el que solía utilizarse por los griegos de Alejandría en aquella época, el error cometido sería de 6.192 kilómetros (un 15 %). Sin embargo, hay quien defiende que empleó el estadio egipcio (300 codos de 52,4 cm), en cuyo caso la circunferencia polar calculada hubiera sido de 39614 km, frente a los 40008 km considerados en la actualidad, es decir, un error de menos del 1%.
